Notasi,Prinsip dan Konjektur

I.        NOTASI

               

      Notasi adalah lambang – lambang matematis yang telah disepakati yang mempunyai makna tertentu.

Contoh :

1)      Notasi yang berkaitan dengan obyek (misalnya himpunan, matriks,vector)

2)      Notasi yang berkaitan dengan operasi atau pengerjaan (misalnya +, -,×, : ,  dan p )

3)      Notasi yang berkaitan dengan hubungan unsur- unsur ( misalnya = , >, < ,   , | )

4)      Notasi yang berkaitan dengan pernyataan yang menjelaskan ( misalnya FPB a dan b di tulis dengan (a,b), KPK  a dan b ditulis dengan [a,b] )

5)      Notasi yang berkaitan dengan himpunan, yaitu :

N : Himpunan bilangan asli { 1, 2, 3 …. }

Z : Himpunan bilangan bulat { …, -2, -1 , 0, 1, 2, …}

Z⁺ : Himpunan bilangan bulat positip

    : { 1, 2, 3,… }

    : { x Î Z | x > 0 }

    : { x Î Z | x ³ 1 }

Q : Himpunan bilangan rasional

   : {  | a, b Î Z dan b ¹ 0 }

Q⁺ : Himpunan bilangan rasional positif

     : { x Î Q | x > 0 }

R : Himpunan bilangan Real

R⁺ : Himpunan bilangan real positif

    : {   x Î R | x > 0 }

R^- : Himpunan bilangan real negatif

    : {   x Î R | x < 0 }

P : Himpunan bilangan prima

C : Himpunan bilangan  kompleks

   : { x + yi | x, y Î R, i² = -1 }

C^*: Himpunan bilangan kompleks tidak nol

Beberapa notasi yang lain terdapat di dalam uraian- uraian yang terkait dengan definisi dan penjelasan di dalam pembahasan. Notasi yang berkaitan dengan penjumlahan yaitu  (sigma) artinya penjumlahan berulang dan p (pi) artinya perkalian berulang.

Contoh:

1)       = 1+2+3+4 =10

   = 3.1²  + 3.2²  + 3.3² + 3. 4² + 3.5²  = 165

3)     = 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ =  128

4)       =  2(3) + 2(4) + 2(5) + 2(6)

                 =  18 + 32 + 50 + 72

                  =  172

5)       = 1.2.3.4.5.6 =  720

6)     = 2¹.2².2³ = 64

Batas atas dan batas bawah dari  dan p dapat di tentukan sembarang bilangan bulat dimana:

·         Batas bawah tidak selalu 1, tetapi bilangan bulat sebarang

·         Batas atas tidak boleh kurang dari batas bawah

·         Huruf i yang digunakan sebagai indeks, disebut variabel dummy, dan huruf i dapat diganti oleh sebarang huruf lain.

Di dalam mencari nilai  dan p  perlu di perhatikan bahwa yang berturut- turut dig anti adalah variabel dummy.

Adapun beberapa notasi lain yang penting adalah :

·         a | b                  : a membagi b, a factor b, b habis dibagi a, b mempunyai factor a

·          (a,b)                : faktor persekutuan terbesar dari a dan b

·         [a,b]                 : kelipatan persekutuan terkecil dari dari a dan b

·         min(x,y)           : nilai yang terkecil dari x dan y

·         max(x,y)          : nilai yang terbesar dari x dan y

·         [x]                    : bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x

·         f(n)                  : fungsi f-Euler dari n

·                         : fungsi jumlah pembagi

       I.            PRINSIP

            Prinsip adalah aturan atau sifat yang di pakai sebagai dasar atau landasan dalam pembuktian. Prinsip dapat diambil dari definisi, aksioma atau dalil yang diambil untuk di gunakan pada bagian lain yang memerlukan. Beberapa prinsip yang akan digunakan dalam uraian berikutnya adalah prinsip urutan, prinsip induksi matematis, dan prinsip logika matematis.

                 

A.  Prinsip Urutan

Dari dua bilangan bulat a dan b , a dapat di tentukan hubungan antara a dan b, yaitu a atau a Hubungan ini tetap benar jika a dan b adalah bilangan rasional atau bilangan nyata.

Dengan menggunakan lambang  atau  himpunan bilangan bulat positif Z⁺ Ì  Z  dapat dinyatakan sebagai :

            Z⁺ = {  x Î Z | x ³ 1 }  atau Z⁺ = {  t Î Z | t > 0 }

Untuk himpunan bilangan rasional positif dan himpunan bilangan nyata positif, ternyata Q⁺ dan R⁺ tidak dapat dinyatakan dengan menggunakan lambang  , yaitu:

            Q⁺ = { sÎ Q| s > 0 } dan R⁺ = { r Î R| r > 0 }

Berbeda dengan Q⁺ , R⁺ dan  Z⁺ mempunyai sifat bahwa setiap A Ì Z⁺  dan A  f, tentu ada bilangan bulat k Î A sehingga k    x untuk semua x Î A ; k disebut elemen terkecil. Keberadaan elemen terkecil ini tidak berlaku dalam Q⁺ dan R⁺. keadaan inilah yang membedakan Z⁺ dari Q⁺ dan R⁺

Prinsip urutan menyatakan bahwa:

            Suatu himpunan S disebut terurut jika setiap X Ì S  dan X  f, maka X mempunyai elemen( unsur) terkecil.

Contoh:

1)      Himpunan bilangan asli N adalah terurut karena setiap himpunan bagian dari N yang tidak kosong mempunyai unsur terkecil, atau tidak ada himpunan bagian dari N yang tidak kosong dan tidak mempunyai unsur terkecil.

2)      Himpunan bilangan rasional positif  Q⁺ adalah tidak terurut karena ada himpunan bagian dari Q⁺ yang tidak kosong dan tidak mempunyai unsur terkecil, misalnya :

            X = { 1,  , …}

3)      Himpunan A = { 3, 4, 5, 6, 7 } adalah terurut sebab setiap X Ì A dan X  f, maka X mempunyai elemen terkecil.

4)      Himpunan B = {-6,-5,-4….} adalah terurut.

B.  Prinsip Logika Matematis

Terdapat empat prinsip logika yang perlu mendapatkan perhatian terutama untuk membahas sifat-sifat di dalam teori bilangan. Dua prinsip pertama berkaitan dengan kuantor dan dua prinsip yang lain berkaitan dengan implikasi.

                                                

(a) Pernyataan Berkuantor

Pernyataan “Setiap x memenuhi y” tidak dapat dibuktikan dengan memberikan contoh-contoh x yang memenuhi y. sebagai peragaan, pernyataan setiap bilangan prima adalah bilangan ganjil tidak dibuktikan dengan memberikan contoh atau kasus sebanyak-banyaknya.

11 adalah bilangan prima dan 11 adalah bilangan ganjil

13 adalah bilangan prima dan 13 adalah bilangan ganjil

17 adalah bilangan prima dan 17 adalah bilangan ganjil

7 adalah bilangan prima dan 7 adalah bilangan ganjil

23 adalah bilangan prima dan 23 adalah bilangan ganjil

19 adalah bilangan prima dan 19 adalah bilangan ganjil

5 adalah bilangan prima dan 5 adalah bilangan ganjil

31 adalah bilangan prima dan 31 adalah bilangan ganjil

Dengan delapan contoh di atas apakah sudah ada jaminan bahwa setiap bilangan prima adalah bilangan ganjil? Bagaimanakah jika contoh-contohnya ditambah dengan 37, 41, dan 53? Ternyata tidak setiap bilangan prima adalah bilangan ganjil karena 2 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan tidak ganjil (bilangan genap).

Tidak berlakunya pernyataan “Setiap x memenuhi y” dapat ditunjukkan dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y. Contoh semacam ini disebut dengan contoh kontra (counter example). Sebagai peragaan yang lain, tidak berlakunya sifat setiap bilangan bulat yang tidak positif adalah bilangan bulat negatif dapat ditunjukkan dengan memberikan suatu contoh yaitu bilangan 0 (nol) adalah bilangan bulat yang tidak positif tetapi bukan bilangan negatif.

Pernyataan “Tidak setiap x memenuhi sifat y” dapat dibuktikan dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y. Sebagai peragaan, pernyataan tidak semua bilangan asli n habis dibagi oleh 3 dapat ditunjukkan kebenarannya dengan memberikan suatu contoh yaitu bilangan asli 5 ( atau yang lain) yang tidak habis dibagi oleh 3.

(b) Bukti Langsung

Pembuktian secara langsung dilakukan berdasarkan pernyataan p yang diketahui, p diproses dengan sifat-sifat yang telah berlaku, akhirnya diperoleh pernyataan q. Pernyataan “Jika p maka q” dapat dibuktikan dengan mendasarkan pada pernyataan p yang diketahui kemudian diarahkan untuk memperoleh pernyataan P1, P2, P3, …, Pn.dan akhirnya diperoleh q.

p → P1 →P2 → P3 → …→ Pn→ q

                                                                                                      

Prinsip modus ponens dan prinsip silogisme memberikan dasar konstruksi pembuktian langsung. Prinsip modus ponens adalah sebagai berikut.

p → q

p

¾¾¾¾

Jadi q.

Prinsip modus ponens adalah sebagai berikut.

p → q

q → r

¾¾¾¾

Jadi p → r

Pernyataan “Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil” dapat dibuktikan secara langsung.  Dalam suatu dalil, pernyataan jika ac membagi bc, maka a membagi b bersesuaian dengan diketahui ac membagi bc, harus dibuktikan a membagi b. Jadi, berangkat dari ac membagi bc sebagai hal yang diketahui, kemudian diproses dengan definisi, dalil, dan aksioma yang sesuai dan sudah diketahui, sehingga akhirnya terbukti a membagi b.

(c) Bukti Tak langsung

Pembuktian tak langsung dapat dilakukan dengan prinsip kontraposisi ataupun kontradiksi.

►Pembuktian dengan prinsip kontraposisi

Dasar pembuktian tersebut adalah prinsip modus tollens berikut.

p ® q

~q

¾¾-¾¾

Jadi ~p

Dalam pembuktian yang dilakukan dengan prinsip kontraposisi, untuk membuktikan p®q, mula-mula dianggap bahwa q tidak benar, dan ternyata menghasilkan ~ p. Hal ini berarti jika p benar maka q benar.

Pernyataan ” Misalkan a bilangan real, dan a ³ 0 . Jika untuk setiap e > 0 berlaku 0 £ a <e maka a = 0 ” dapat dibuktikan secara tak langsung.

Bukti:       

Andaikan 0 £ a< e dan a ¹ 0. Dari a³ 0 dan a ¹ 0 diperoleh a > 0 . Karena e sebarang bilangan positif, ambil e =  > 0, maka e < a atau a > e. Hal ini bertentangan dengan pengandaian. Jadi yang benar, 0 £ a <e dan a = 0 .

(b) Pembuktian Dengan Kontradiksi

Untuk membuktikan bahwa ” p ® q” benar, ditunjukkan bahwa ”p dan ~q” mengakibatkan sesuatu pertentangan. Prinsip kontradiksi dalam pembuktian tak langsung adalah sebagai berikut.

[~ p ® (q Ù ~q)] ® p

Pembuktian tak langsung ini berangkat dari suatu anggapan benar. Kemudian anggapan benar ini dijalankan dengan hal-hal yang diketahui atau sifat yang telah tersedia, ternyata menghasilkan sesuatu yang bertentangan (kontradiksi) atau sesuatu yang mustahil, yang berarti bahwa anggapan yang diambil semula adalah tidak benar (salah).

Pernyataan ”Jika a bilangan real dan a > 0 maka  > 0 ” dapat dibuktikan dengan kontradiksi

Bukti :

Diketahui a bilangan real dan a > 0 . Andaikan  £ 0. Selanjutnya digunakan prinsip bahwa hasil kali bilangan positif dan bilangan negatif adalah negatif, sebagai berikut.

Untuk  < 0 berarti a ×  < 0 Û 1 < 0 dan untuk  = 0 berarti a ×  =0 Û 1= 0 sehingga untuk  £ 0 berakibat 1 £ 0 . Hal ini kontradiksi dengan sifat bilangan 1 bahwa 1 > 0 .

Jadi yang benar, a > 0 maka  > 0 .

  

C.  Prinsip Induksi Matematis

Prinsip induksi matematis sering digunakan sebagai satu cara untuk membuktikan berlakunya suatu hubungan atau suatu dalil.

Prinsip induksi matematis menyatakan bahwa:

S adalah himpunan bilangan asli

Jika: a. 1 ϵ S

        b. k ϵ S berakibat (k+1) ϵ S

maka memuat semua bilangan asli yaitu S = N

Contoh :

1+2+3+…+ n =  untuk setiap n ϵ N

1 ϵ S sebab untuk n=1, ruas kiri bernilai 1 dan ruas bernilai  =1

Sehingga ruas kiri dan ruas kanan bernilai sama

Anggaplah k ϵ S,yaitu:

1+2+3+…+ k =

Harus ditunjukan (k+1) ϵ S, yaitu harus ditunjukan:

            1+2+3+…+ k + (k+1) =

            1+2+3+…+ k + (k+1) =

Karena:           

1+2+3+…+ k =

Maka:

            1+2+3+…+ k + (k+1) =  + (k+1)

                                                =  +  

                                                =            

                                                =     

            1+2+3+…+ k + (k+1) =

Karena (k+1) ϵ S maka sesuai dengan prinsip induksi matematis, S = N

Yaitu:

           

            1+2+3+…+ n =  untuk setiap n ϵ N

    II.            KONJEKTUR (Conjecture)

            Dalam teori bilangan terdapat masalah-masalah yang belum terselesaikan atau belum terpecahkan, yang dinamakan konjektur. Konjektur (Conjecture = dugaan, perkiraan) yaitu suatu pernyataan yang kebenarannya belum diketahui atau belum dapat dibuktikan.

Beberapa konjektur dalam teori bilangan antara lain adalah sebagai berikut :

(1) Konjektur Fermat

a. Untuk semua bilangan bulat x, maka x² -x -41 adalah bilangan prima, kecuali

x =41

Contoh :

Untuk x=1, maka x² -x + 41 =41

Untuk x=2, maka x² -x + 41 = 43

Untuk x=3, maka x² -x + 41 = 47

Untuk x=4, maka x² -x + 41 = 53

Untuk x=5, maka x² -x + 41 = 61

b. adalah bilangan prima.

Contoh :

Untuk n=0, maka  = = 3                            (bilangan prima)

Untuk n=1, maka  = = 5                            (bilangan prima)

Untuk n=2, maka  = = 17                          (bilangan prima)

Untuk n=3, maka  = = 257                                    (bilangan prima)

Untuk n=4, maka  = = 65537                   (bilangan prima)

Untuk n=5, maka  = = 4294967297         (bilangan prima)

c. Untuk n ³ 3, tidak ada bilangan bulat positif x,y,z yang memenuhi

Konjektur ini disebut Fermat’s Last Theorem (teorema terakhir Fermat). Sampai

Fermat meninggal, belum ditemukan bilangan bulat n yang memenuhi

(2) Konjektur Lagrange

Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah dari empat bilangan kuadrat.

Contoh :

999 =

(3) Konjektur Goldbach

a. Setiap bilangan bulat positif genap lebih dari 4 merupakan jumlah dua bilangan prima ganjil.

Contoh :

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7

12 = 5 + 7    

14 = 3 + 11

30 = 23 + 7

b. Setiap bilangan bulat positif ganjil lebih dari 8 merupakan jumlah tiga bilangan prima ganjil.

Contoh :

9 = 3 + 3 + 3

11 = 3 + 3 + 5

13 = 3 + 5 + 5

19 = 5 + 7 + 7

37 = 11 + 13 + 13

101 = 47 + 43 + 11

c. Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan prima.

Contoh :

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

20 = 7 + 13

50 = 3 + 47

100 = 29 + 71

 (4) Konjektur tentang Bilangan Perfek

Bilangan perfek adalah suatu bilangan bulat positif yang jumlah semua pembagi

sejatinya yang positif sama dengan bilangan itu sendiri. Dengan kata lain, Bilangan Perfek adalah Bilangan komposit yang jumlah pembaginya tidak termasuk dirinya, sama dengan dirinya sendiri.

Contoh:

6, 28, 496, 8128, dan 33.550.336.

Pembagi sejatinya 6 adalah 1,2, dan 3; maka,1 + 2 + 3 = 6.

Pembagi sejatinya 28 adalah 1,2,4,7, dan 14; maka, 1+ 2 + 4 + 7 +14 = 28

Pembagi sejatinya 496 adalah 1,2,…, dan 248; maka, 1+ 2 +...+ 248 = 496                 

Terdapat beberapa konjektur yang berkaitan dengan bilangan perfek, yaitu :

a. Banyaknya bilangan perfek adalah takhingga

b. Semua bilangan perfek adalah genap

c. Jika ) adalah bilangan prima, maka )) adalah bilangan perfek.

(5) Konjektur tentang Twin Primes (Pasangan Prima)

Twin Primes (Pasangan prima) adalah dua bilangan prima berurutan yang berselisih 2.

Contoh:

3 dan 5; 5 dan 7; 11 dan 13; 17 dan 19; 29 dan 31; 41 dan 43.

Suatu konjektur yang berkaitan dengan Twin Primes (Pasangan prima) adalah :

Banyaknya pasangan prima (twin prime) adalah tak hingga.

(6) Konjektur tentang pasangan dua bilangan bersekawan (Amicable)

Bilangan bersekawan ( Amicable) adalah pasangan dua bilangan bulat positif yang masing-masing jumlah pembaginya yang positif (tidak termsuk bilangannya) sama dengan bilangan yang lain. Dengan kata lain, Bilangan bersekawan (Amicable) adalah Sepasang bilangan komposit a dan b dimana jumlah faktor-faktor dari a tidak termasuk a sama dengan b dan Jumlah factor-faktor dari b tidak termasuk b sama dengan a.

Contoh:

220 dan 284; 1184 dan 1210; 17296 dan 18416.

Pembagi 220 yang positif adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55, 110

Jumlah pembagi 220 yang positif adalah 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 44 + 55 + 110 = 284

Pembagi 284 yang positif adalah 1, 2, 4, 71, 142

Jumlah pembagi 284 yang positif adalah 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Suatu konjektur yang berkaitan dengan Bilangan bersekawan (Amicable) adalah :

Terdapat tak hingga banyaknya pasangan bilangan bersekawan (Amicable).