AHLI-AHLI
MATEMATIKA TERKEMUKA ABAD XVII DAN PERKEMBANGAN WADAHNYA
5.3.1
AHLI-AHLI MATEMATIKA
ABAD-17 DAN PENEMUANNYA
1. Fermat (1601-1665)
Fermat lahir di Toulouse,
anak dari seorang saudagar kulit. Ia menerima pendidikan pertama di rumah. Ia
memperoleh pendidikan di bidang hukum, dan bekerja sebagai ahli hukum dengan
penampilannya yang sederhana. Ia dipandang sebagai ahli yang amat teliti dalam
tugasnya dan bersikap rendah hati sebagai anggota dewan kota praja Toulouse
pada usia 30 tahun. Ia memanfaatkan waktu luangnya belajar matematika.
Bersamaan dengan saat Descartes merumuskan dasar geometri analaitik, Fermat
juga mempelajari bahan pelajaran itu. Maka Fermat dipandang sebagai jenius
matematika Prancis abad-17.
Dari hasil belajarnya
sendiri ia menulis dalam suatu makalah berjudul “ISOGOGE AD LOCUS PLANOS ET
SOLIDAS”. Di dalam tulisan ini terdapat persamaan garis dan lingkaran, dan
membicarakan hiperbola, ellips dan parabola. Dalam suatu karya ia menulis
tentang tangent dan kuadratur yang diselesaikan pada tahun 1637. Ia menemukan
kurva-kurva baru dengan persamaan yang terbentuk oleh gerak mekanik.
Kurva-kurva itu ialah parabola yn = axm, hiperbola xmyn
= a, spiral Fermat rn = a θ. Ia juga memperkenalkan kurvaa derajat
tiga yang dikenal kemudian dengan nama sihir dari Agnesia. Kurva itu dinamai
menurut nama Maria Gaetama Agnesi (1718-1799) seorang wanita terkenal di bidang
matematika, linguistik dan filsafat tetapi dengan sifat aneh suka bejalan waktu
sedang tidur.
Cara Fermat menguraikan
sifat-sifat geometri dari kurva itu kadang kala ia mulai dari tempat kedudukan
kemudian secara analitik menemukan persamaannya. Ada kalanya dimulai dari
persamaan kemudian mempelajari tempat kedudukan titik-titik yang memenuhinya.
Itulah prinsip timbal balik sebagai prinsip dasar geometri analitik. Tetapi
Fermat masih memakai notasi Viete, berarti masih lebih terbelakang dari
pemakaian notasi oleh Descartes. Fermat sedikit menerbitkan karya tulisnya
tetapi banyak melakukan surat menyurat dengan ahli matematika lain yang mempengaruhi
pendapat penerima suratnya. Ia mengembangkan banyak komponen matematika
sehingga ia dipandang sebagai ahli matematika terbesar abad ke XVII.
Penemuan fermat terpenting
adalah mengenai teori bilangan. Dalam teori bilangan ia dipandang memiliki intuisi
dan kemampuan luar biasa. Terjemahan Bachet de Meziriac pada tahun 1621 dari
buku Diophantus yang berjudul Arithmetica menarik perhatian Fermat akan teori
bilangan. Fermat membuat catatan pinggir pada terjemahan buku Bachet itu.
Pada tahun 1670, lima
tahun setelah Fermat meninggal catatan Fermat itu dimasukkan dalam terbitan
baru dari Aritmetika itu yang diterbitkan oleh putranya Clement Samuel. Adapun
penyelidikan yang dilakukan oleh Fermat antara lain adalah sebagai berikut :
1)
Jika m suatu bilangan prima dan p bilangan relatif prima
kepada m maka pm-1 -1 habis dibagi m.
Misalnya: m=5, p=4 maka 45-1 -1 = 255 habis
dibagi 5.
Teorema ini tanpa bukti dikirimkan Fermat pada suratnya
kepada Frenicle de Bessy bertanggal 18 Oktober 1640. Teorema ini kemudian
dikenal dengan teorema kecil Fermat. Buktinya diberikan Euler tahun 1736.
2)
Tiap bilangan prima ganjil dapat dinyatakan sebagai selisih
dari dua kuadrat hanya dengan satu cara. Teorema ini dibuktikan sebagai berikut
:
Jika p suatu bilangan prima ganjil, maka :
Bukti yang diberikan itu amat sederhana.
Sebut p = x2 – y2, maka p = (x + y) (x - y)
Karena p adalah bilangan prima, maka faktornya hanyalah x +
y = p dan,
x - y = 1
Sehingga dan
3)
Suatu Bilangan Prima dalam bentuk p = 4m +1 dapat
dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat.
Misalnya: 13 = 4 x
3 + 1 = 22 + 32
29
= 4 x 7 + 1 = 52+ 22
Teorema ini diberikan Fermat pada suratnya kepada Mersenne
tertanggal 25 Desember 1640.
4)
Bilangan Prima p = 4m +1 hanya terjadi satu kali sebagai
hipotenusa segitiga siku. Kuadrat dari p dapat terjadi dua kali sebagai
hipotenusa dan pangkat tiga dari p dapat terjadi tiga kali sebagai hipotenusa
dan seterusnya.
Contohnya : p = 13 = 4(3) + 1, maka 132 = 122
+ 52 ( satu kali)
p
= 169, maka 1692 = 1562 + 652 = 1202
+ 1192 (dua kali)
Dan
seterusnya.
5)
Tiap bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai jumlah
dari empat atau kurang bilangan kuadrat. Teorema yang sukar ini dibuktikan
Lagragne pada tahun 1770.
6)
Luas Daerah suatu segitiga siku-siku yang sisi-sisinya
terdiri dari bilangan bulat tidak mungkin satu bilangan kuadrat. Teorema ini
juga dibuktikan Lagragne.
7)
Terdapat hanya satu bilangan bulat sebagai penyelesaian
dari x2 + 2 = y3, dan hanya dua dari x2 + 4 =
y3. Soal ini dikemukakan Fermat sebagai tantangan kepada ahli
matematika inggris.
Penyelesaiannya : x
= 5 , y= 3 pada persamaan pertama.
x = 2, y =2 ; x =1 , y = 5
pada persamaan kedua.
8)
Tidak terdapat bilangan bulat positif x, y, dan z sehingga
x4 + y4 = z2.
9)
Tidak terdapat bilangan bulat positif x, y,z sehingga xn+
yn = zn, jika n > 2.
Terkaan terkenal ini dikenal sebagai teorema terakhir dari
Fermat. Dijelaskan Fermat pada catatan pinggir dari kopi terjemahan Bachet dari
buku Arithmatika dari Diophantus pada soal 8 Buku II, yakni memisah suatu
bilangan kuadrat atas dua bilangan kuadrat. Kemudian memisah suatu bilangan
pangkat tiga atas dua bilangan pangkat tiga dan seterusnya. Tetapi, memisah
atas lebih dari 2 tidak mungkin. Fermat membuktikan soal itu untuk n =4, Euler
memberi bukti untuk n =3. Ahli- ahli matematika kemudian membuktikan teorema
itu. Pada tahun 1825, sendiri-sendiri Dricglet dan Legendre membuktikan untuk
n=5. Pada tahun 1839, Lame membuktikan untuk n = 7. E.Kummer ( 1810-1893) pada tahun
1843 menyampaikan suatu bukti kepada Drichlet bahwa terdapat kesalahan pada
bukti yang diberikan oleh Drichlet itu. Setelah Kummer memperdalam matematika
dalam aljabar tinggi mengenai teori ideals yang membahas syarat-syarat umum,
agar suatu persamaan dapat diselesaikan, maka teorema terakhir Fermat itu
dibahasnya lagi. Dan Kummer menemukan pengembangan penting dari teorema itu.
Pada tahun 1908, P.Wolfskehl seorang
ahli matematika Jerman mewariskan 100.000 mark Jerman kepada Akademi Ilmu
Pengetahuan Gottingen untuk dihadiahkan kepada orang pertama yang dapat memberi
bukti lengkap dari teorema Fermat itu. Setelah penemuan komputer, pada tahun
1955, dibuktikan bahwa teorema terakhir dari Fermat itu benar untuk n <
4003.
10)
Dugaan Fermat bahwa f(n) = adalah
bilangan pri ma, terbukti salah setelah Euler menemukan f(5)=232 + 1
adalah bilangan komposit.
f(5) = 232 + 1
f(5) = 4294964967297
f(5) = 641 x 6700417
11)
Metoda turun tak terbatas dari Fermat. Metoda ini sangat
berguna untuk mencapai hasil yang negatif.
Adapun metoda itu berjalan sebagai berikut :
Bila kita hendak membuktikan bahwa suatu relasi tertentu
bahwa relasi itu berlaku pada beberapa bilangan bulat positif. Dengan
pengandaian itu, buktikan bahwa relasi yang sama berlaku pula pada himpunan
bilangan bulat positif yang lebih kecil. Gunakan berulang-ulang relasi itu pada
himpunan bilangan bulat positif yang semakin kecil. Karena bilangan bulat
positif itu tak mungkin semakin kecil tak terbatas, maka pengandaian tadi tak
dapat dipertahankan, berarti relasi semula yang hendak dibuktikan itu benar
tidak mungkin.
Contoh : Buktikan bahwa tidak
rasional.
Bukti :
Andaikan dengan a, b
bilangan bulat positif.
Maka :
; karena
Sebut =
Tetapi 1 < < 2 atau 1
< < 2 atau b
< a < 2b
Karena a < 2b, maka 0 < 2b – a = a1
Karena b < a, maka a1 = 2b – a < a,
bilangan bulat positif
Karena b <a, maka 0 < b – a = b1 < b bilangan bulat positif
Dengan mengulang cara seperti di atas diperoleh lagi :
dengan a2
< a1, b2 < b1
Proses itu dapat diteruskan tak terbatas, tetapi bilangan
bulat positif kecil tak terbatas tidak ada. Berarti itu tidak
rasional.
12)
Dasar Teori Peluang.
Pascal dan Fermat meletakkan dasar teori peluang. Fermat
mengambil kejadian khusus pada persoalan titik.
Jika A memerlukan 2 nilai untuk menang dan pemain B
memerlukan 3 nilai. Penyelesaian yang
diberikan Fermat adalah sebagai berikut : Jika diperlukan 4 percobaan lagi
untuk menentukan hasil permainan itu, sebut a suatu percobaab untuk A menang,
dan b suatu percobaan untuk B menang. Maka terdapat 16 kombinasi dari huruf a
dan b dalam 4 percobaan itu yakni :
a a a a a
a a b a b b a b b a b
b a a a b
b a a a b a b b a b b
a b a a b
a b a a a b b a b b b
a a b a b
a a b b b b a b b b b
Kejadian munculnya a dua kali atau lebih menguntungkan
kepada A, banyaknya 11 kejadian. Kejadian munculnya b tiga kali atau lebih
menguntungkan B, banyaknya 5 kejadian. Maka taruhan yang tertunda itu dibagi
atas perbandingan 11 : 5.
2. Huygens (1629-1695)
Huygens lahir di Hague,
belajar di Leiden pada Frans van Schooten de Younger. Pada tahun 1951 yaitu
pada usia 22 tahun ia menerbitkan makalah yang menunjukkan kesalahan
Saint-Vincent dalam perhitungan kuadratur lingkaran. Tulisan itu diikuti dengan
karya-karyanya mengenai kuadratur irisan kerucut, perbaikan trigonometri dari
Snell dalam metode perhitungan.
Pada tahun 1645, Huygens
dan Saudaranya menemukan cara baru untuk mengasah dan mengkilapkan lensa.
Dengan adanya lensa itu mampu menjawab sejumlah pertanyaan dalam pengamatan
astronomi, seperti sifat-sifat saturnus. Karya astronominya membimbing ia
kepada penemuan jam bandul sehingga ia mampu mengukur waktu lebih tepat.
Pada tahun 1657, Huygens
menulis risalat pertama tentang peluang berdasarkan surat menyurat
Pascal-Fermat. Risalat itulah uraian paling baik hingga saat itu mengenai
peluang. Pada tahun 1713, Jacob Bernoulli menulis karya dengan judul “ARS
CONJECTANDI” berisi cetak ulang dari risalat Huygens.
Banyak soal-soal menarik
dan sukar yang diselesaikna Huygens dan memperkenalkan pengertian dan konsep
penting tentang harapan matematika.
Hal-hal penting lain yang
diperkenalkannya, jika p peluang seorang memenangkan suatu jumlah a dan q
adalah peluang memenangkan jumlah b, maka dapat diharapkan ia memenangkan
jumlah ap + bq.
Pada tahun 1665, Huygens
pindah ke Paris untuk mempergunakan pensiun yang diberikan Louis XIV. Semasa
berada di paris ia berhubungan dengan Royal Society London dengan mengirim
makalah mengenai eksperimen bahwa momentum dari dua benda pada arah yang
ditentukan adalah sama sebelum dan sesudah tumbukan. Pada tahun 1675 ia
menerbitkan karya besarnya di Paris, dengan judul “HOROLOGIUM OSCILATORIUM”.
Karya itu terdiri dari
lima bagian. Bagian pertama mengenai jam bandul yang ditemukannya pada tahun
1656. Bagian kedua membicarakan benda jatuh bebas dalam ruang kosong, tentang
benda yang menggelinding pada bidang miring atau yang menggelinding pada kurva
licin. Dalam bagian dua itu diuraikan sifat isochron dari busur cycloida
terbalik, bahwa partikel berat akan mencapai dasar dari busur cycloida terbalik
dalam panjang dan waktu yang sama dari titik manapun partikel mulai turun. Pada
bagian ketiga ia menguraikan sifat-sifat dari evolut dan involut. Huygens
menemukan evolut dari parabola adalah semi parabola deratat tiga, sedang evolut
dari cyclodia adalah cyclodia dengan ukuran yang sama.
Pada bagian empat
diuraikan sifat dari bandulan majemuk dengan bukti bahwa pusat oskilasi dan
titik gantung dapat dipertukarkan. Pada bagian lima diuraikan mengenai teori
dari jam. Dalam bagian itu didapat gambar dari bandul cycloida dengan periode
oskilasi selalu sama bagaimanapun besar atau kecilnya amplitudo dari askelasi
itu.
Bagian terakhir dari 13
teorinya yang berkenaan dengan gaya sentrifugal dalam gerak melingkar yang
dikenal sekarang dengan gerak melingkar uniform. Bahwa besar gaya sentrifugal
berbanding lurus dengan pangkat dua dengan kecepatan linier dan berbanding
terbalik dengan jari-jari lingkaran.
Pada tahun 1675, dibuatlah
jam pertama yang diatur dengan per yang seimbang dan jam itu dihadiahkan kepada
Louis XIV. Pada tahun 1681, Huygens kembali ke negeri Belanda, ia membuat lensa
yang amat besar, dan menemukan lensa akhromatis untuk teleskop.
Pada tahun 1689 ia
berkunjung ke Inggris dan berkenalan dengan Newton. Setelah kembali ke negeri
Belanda, pada tahun 1690 ia menerbitkan suatu risalat yang menguraikan teori
gelombang dari cahaya. Dari teori gelombang cahaya itu ia menurunkan secara
geometri hukum refleksi dan refraksi cahaya dan menjelaskan fenomena refleksi
rangkap dari cahaya.
Newton pun mendungkung
teori emissi dari cahaya. Teori gelombang cahaya itulah yang paling memashurkan
nama Huygens dan ia disejajarkan dengan jenius-jenius ilmuan lainnya.
Risalat-risalat lain yang ditulis Huygens dari hasil penyelidikannya untuk
perbaikan cisoida dari Diocles, penyelidikan geometri analitik dari catenary, kurva logaritma, bentuk modern dari
polinom, penyelidikan aturan maksimum dan minimum dari Fermat dan risalat
matematika fisika. Bukti-bukti yang diberikan Huygens disusun secara cermat dan
ketat secara sempurna.
3. Evangelista Terricolli (1608 – 1647)
Terricolli adalah murid
dari Galileo di Italia. Pada tahun 1644, ia menerbitkan karyanya yang pertama
menentukan cycloida sama dengan tiga kali luas lingkaran yang menggelinding
itu. Buktinya dengan metoda kecil tak berhingga. Bukti yang diberikannya dengan
metoda kecil tak berhingga.
Terricolli lebih dikenal
dari penemuannya dalam fisika, yakni mengenai barometer. Ia juga mengemukakan
teori-teori tentang percepatan dan gravitas, gerakan cairan dan teori
proyektil.
4. Vincenzo Viviani (1622 – 1703)
Ia juga murid dari
Galileo. Karya geometrinya antara lain mengenai tangent pada cycloida. Viviani
juga menyelesaikan soal membagi tiga samasudut dengan menggunakan hiperbola
sama sisi.
5. Giovanni Domenico Cassini (1625 – 1712)
Sumbangan Cassini pada
matematika adalah pemakaian astronomi. Pada tahun 1668, ia menemukan kurva
Cassini yaitu TK titik-titik yanh hasil kali jarak terhadap dua titik tetap
selalu sama. Kurva itu diselidiki dalam hubungannya dengan gerak relative bumi
dan matahari.
6. Bachet de Meziriac (1581 – 1638)
Ia ahli matematika
Perancis penting mengenai soal-soal Diophantus. Pada thun 1612, ia menerbitkan
Problemes Plaisants et Delectables dan diperluas pada terbitan 1624, berisi
banyak akal-akal aritmetika dan hiburan matematika. Pada tahun 1621, ia
menerbitkan terjemahan dari bahasa Gerik buku Diophantus Aritmatica ke dalam
bahasa Latin.
7. Marin Mercenne (1588 – 1648)
Ia seorang ahli teori dan
penulis besar dalam berbagai bidang ilmu di Perancis. Ia juga mengelola suatu
jurnal, sebagai bank ide matematika dan menulis berbagai bidang ilmu dan
jurnalnya. Namanya terkenal, karena terkait dengan yang disebut “MERSSENNE
PRIM” yakni bilangan prima dalam bentuk 2n – 1.
8. Claude Mydorge (1585 -1647)
Ia seorang ahli geometrid
dan fisika Perancis dan salah seorang sahabat Descartes. Karya-karyanya
mengenai optic dan sifat sintesis dari irisab kerucut. Ia menyederhanakan
beberapa bukti bertele-tele dari Apollonius.
9. Gilles Persone de Roberval (1602 – 1675)
Ia seorang ahli geometrid
an fisika di Perancis. Penemuannya antara lain, metoda menggambar tangent,
kurva dan menemukan beberapa kurva datar derajat tinggi. Menurutnya, kurva datar adalah tempat kedudukan
titik-titik ysng mengikuti dua gerak yang diketahui.
Konsep tangent itu juga
dikemukakan oleh Terricolli. Siapa
penemunya tidak dapat dipastikan. Demikian juga mengenai metoda tak terbagi
sebagai awal dari kalkulus dari Cavaleri. Roberval mengatakan bahwa dialah
penemunya. Ia menuntut bahwa dialah penemu membujursangkarkan daerah cycloida
oleh Terricolli. Roberval berhasil menggunakan metoda tak terbagi untuk
menentukan luas, isi dan titik beratnya.
10. Phillipe de la Hire (1642 – 1718)
Dia dipandang sebagai
jenius dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, sebagai pelukis, arsitek,
astronomi dan ahli matematika.
Karyanya mengenai
Matematika adalah irisan kerucut, metoda grafik, kurva datar derajat tinggi dan
bujursangkar ajaib. Dia menggambar peta bumi dengan proyeksi globe dengan pusat
proyeksi pada garis melalui kutub sejauh r sin 45o di luar bola.
11. Viscount Brouncker (1620 – 1684)
Dia adalah pendiri Royal
Sociaty London dan ia menjadi presiden pertama dari perkumpulan itu. Ia menulis
pembetulan pada parabola dan cycloid. Ia menggunakan deret tak berhingga untuk
menyatakan suatu bentuk yang tak dapat dinyatakan dengan bentuk lain.
Brountcker adalah penulis matematika Inggris pertama yang menyelidiki pecahan
kontinu.
12. James Gregory (1638 – 1675)
Ia seorang ahli matematika
Skotlandia menjadi guru besar matematika pada tahun 1668 di St. Andrews, dan
pada tahun 1674 di Edinburg. Ia juga seorang ahli fisika. Karya dalam fisika
adalah mengenai optiks tentang teleskop refleksi.
Dalam matematika ia
membuktikan bahwa luas suatu lingkaran tak dapat dikuadratkan. Ia meninggal
pada usia muda setelah buta karena kelelahan mata dari pengamatan astronominya.
13. Sir Christopher Wren (1632-1723
Ia ahli dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan seperti halnya matematika, fisika, astronomi,
dan mekanika. Pada tahun 1661-1673, ia menjadi guru besar astronomi pada Savilian Oxford dan pada waktu itu menjadi presiden Royal Society.
Karya tulisnya mengenai hokum tumbukan benda, bahasan yang
berkaitan dengan optik, gesekan cairan, matematika fisika dan mekanika keangkasaan.Ia menemukan garis pelukis dan hiperbola berdaun satu.
Pada tahun 1658, sebagai orang pertama menemukan bahwa busur sikloida sama dengan delapan kali busur lingkaran pembentuknya. Setelah kebakaran besar kota London (London Greats
Fire), pada tahun 1666 sebagai seorang arsitek ia memegang peran terpenting dalam pembagunan katedral St Paul, dan juga menjadi arsitek 50 bangunan gereja dan bangunan umum. Ia lebih dikenal sebagai seorang arsitek di negerinya dari pada seorang ahli matematika.
14. Robert Hooke (1635-1703)
Selama kira-kira 40 tahun menjabat guru beasar geometri pada Gresham College. Bagi siswa SLTA Hooke dikenal dari hukum tegangan pada tali yang ditarik rentangkan. Ia menemukan bandulan kerucut, menemukan hukum gaya berkenaan dengan putaran planet mengikuti matahari, yaitu gaya yang menyebabkan
planet berputar mengelilingi matahari. Hukum itu kemudian dengan hukum berbanding terbalik dari kuadrat jarak oleh Newton. Ia bersama-sama dengan Huygens merancang jam
yang diputar seimbang oleh per.
15. Edmund Halley (1656-1742)
Ia mengganti Wallis menjadi guru besar geometri pada Savilian Oxford dan menjabat ahli astronomi kerajaan Inggris. Ia berusaha menyusun kembali buku 8 yang hilang dari buku Apollonius tentang irisan kerucut. Ia menyusun tabel kematian yang menjadi dasar dari asuransi jiwa dalam bisnis. Tetapi karya yang terpenting adalah mengenai astronomi.
16. Ehrenfried Walther von Tsckirnhausen (1651-1708)
Oleh karena perang 30 tahun (1618 –
1648) di Jerman, maka ilmu-ilmu pengetahuan tak sempat berkembang di Jerman pada abad ke-17. Namun Tsckirnhausen masih sempat menggunakan banyak waktunya untuk penyelidikan matematika dan fisika.
Pada tahun 1682, ia memperkenalkan hasil penyelidikanya knikurva yang disebut kurva catacaustic, yakni kurva envelop dari sinar-sinar yang
dipancarkan dari suatu titik setelah dipantulkan oleh suatu kurva yang
telahditentukan. Spiral sinusoida dikenal
sebagai kurva Thirnhausen. Kurva sinusoida secara umum dengan persamaan , untuk n rasional diselidiki oleh Mc. Laurin pada
tahun 1718.
Dalam teori persamaan Thirnhausen menemukan transformasi dari suatu polinom derajat n dalam y,
sehingga koefisien yn-1,yn-2 dan yn-3 semua menjadi nol. Transformasi ini di pakai untuk penyelesaian transenden dari persamaan derajat lima dengan fungsi elliptik.
17. Willbord Snell (1581-1626)
Ia adalah seorang ahli matematika Belanda. Pada usia 12 tahun ia sudah memahami karya matematika baku pada masa itu. Ia menemukan kurva loxodrome yaitu suatu kurva pada bola yang membentuk sudut tetap dengan meridian-meridian.
Ia ahli pertama yang menyelidiki sifat-sifat segitiga kutub pada bola.
18. Albert Girard (1595)
Ahli matematika Belanda yang terutama mencurahkan perhatiannya pada geometri bola dan trigonometri. Pada tahun 1626 ia menerbitkan risalah tentang trigonometri yang pertama
kali menuliskan singkatan dari sinus, tangens dan secans menjadi sin, tan dan sec.
Ia menyatakan luas segitiga bola dengan ekses bola.
Jika
E=ekses bola maka luas segitiga bola ialah :
.
Girard
adalah juga seorang ahli aljabar.
19. Frans van Schootenmuda (1615-1660)
Anak dari Frans van Schooten seorang guru besar matematika juga. Schooten muda menjadi guru besar matematika, menjadi guru
matematika dari Huygens, Hudde, dan Slure. Saudaranya Petrus juga menjadi guru besar matematika. Ia menerbitkan edisi bahasa latin dari La Geometrie karya Descartes dan juga menerbitkan karya dari Viete. Ia menulis mengenai perspektif.
20. Johan Hudde (1633-1704)
Ia adalah murid dari Schooten muda. Iapernah menjadi walikota Amsterdam. Ia menulis tentang maksimum dan minimum dan teori persamaan. Dalam teori persamaan ia menulis aturan untuk mendapatkan akar-akar rangkap dari suatu polinom, dan cara itulah yang di kenal sekarang, yaitu akar dari faktor persekutuan tertinggi dari persamaan itu dengan fungsi turunannya.
21. Rene Francois Walter de Sulze (1622-1685)
Seorang murid dari Schooten muda. Ia adalah salah seorang dari anggota dewan bishop gereja di
negeri Belanda. Ia menulis tentang spiral, titik belok dan alat-alat geometri. Menemukan kurva , dengan eksponen positif bulat. Kuva tersebut dikenal sebagai mutiara dari Sluze.
22. Nicolaus Mercator (1620-1687)
Ia lahir di Holstein Denmark, tetapi lebih lama tingga di
Inggris. Ia menerbitkan Elemen Euclides. Ia menuliskan tentang trigonometri, astronomi,
perhitungan logaritma dan kosmografi. Dia menulis deret yang kemudian dikenal dengan deret Mercator yakni :
Deret itu konvergen untuk -1 < x ≤ 1.
Maka deret itu dipergunakan dengan baik untuk perhitungan logaritma.
5.3.2 SEKILAS LINTASAN SEJARAH BERDIRINYA AKADEMI dan
JURNAL
(1)
Lahirnya Akademi
Perkembangan ilmu
pengetahuan dan matematika sangat pesat pada saat itu, namun belum adaya suatu
forum atau tempat untuk memampung, memperbincangkan, dan mendiskusikannya.
Belum ada pula majalah dan berkala sebagai wadah penampungan hasil penemuan
para ahli dan juga sebagai media untuk menyebar luaskan. Maka ahli-ahli
tersebut di persatukan dalam akademi.
Pada tahun 1560
diirikanlah akademi pertama di napels. Lalu disusul berdirinya academia dei
lincet in rome pada tahun 1603. Pada tahun 1662 didirikan lagi Royal Socity di
londin. Pada tahun 1666 didirikan lagi Akademi perancis di Paris.
(2)
Lahirnya Majalah Berkala
Setelah adanya akademi
sebagai tempat berdiskusi dan pusat-pusat ilmiah untuk menyajikan makalah,
hasil-hasil temuan pun disebarluaskan melalui media seperti jurnal dan majalah
berkala.
Mungkin berkala tertua
didirikan pada tahun 1796 yakni journal dcolepolytechniqiue. Karena
jurnal-jurnal sebelumnya hanyalah berisi teka-teki dan soal-soal matematka
hiburan.
Pada tahun 1826, A.L
Grella mendirikan jurnal matematika lanjut dengan judul ‘JOURNAL FUR DIE REINE
AND ANGEWANDTE MATHEMATIK’
Pada tahun 1836, dengan J.
Liouville sebagai redaktur di perancis berdiri jurnal matematika dengan judul
‘JOURNAL DE MATHEMATIQUES PURES ET APPLIQUEES’. Tiga tahun setelahnya berdiri
Cambrige Mathematical Journal di Inggris, yang peda tahun 1846-1854 berganti nama
manjadi Cambrige and Dublin Mathematiccal Journal, lalu pada tahun 1855 menjadi Quarterly
Journal of Pure and Aplid Mathematics.
Pada tahun 1878 dengan J.J
Sylvester sebagai redaktur mendirikan The American Journal of Mathematics. Lalu
pada tahun 1841, didirikan jurnal khusus untuk keperluan guru matematika dengan
judul Archivder Mathematik and Physik dan pada tahun 1842 berdiri journal di
perancis.
Pada tahun 1865, London
Mathematical Society mendirikan jurnal matematika tingkat tinggi dengan judul Proceedings.
Pada tahun 1872, berdiri Society Mathematique de France di Paris dan
menerbitkan jurnal bulletin. Pada tahun 1884, di paris Italia berdiri
perhimpuna matematika Circolo Matematico, kemudian menerbitkan jurnal Rendiconti.
Pada tahun 1887, di Edinburg
Mathematical Society dan menerbitkan Poceeding. Pada tahun 1888 berdiri
American Society di Amerika dan pada tahu 1900 menerbitkan jurnal Trans Action,
pada tahun 1950 menerbitkan Proceeding.
Pada tahun 1890, di Jerman
berdiri Deutsche Matematikan Verenigung dan pada tahun 1892 menerbitkan jurnal
Jahrebericht. Pada masa sekarang hampir semua Negara mendirikan
perhimpunan matematika. Termasuk di FKIP ini, kita mendirikan Himpunan
Mahasiswa Matematika (HIMMAT) J.
Banda Aceh, 21
Desember 2012
KELOMPOK
IV
SOAL-SOAL
1. Menurut teorema 6 dari
Fermat, jika sisi-sisi suatu segitiga siku merupakan bilangan-bilangan bulat
maka luas segitiga itu tidak dapat kuadrat suatu bilangan bulat.
(a) Menurut teorema ini
buktikanlah bahwa persamaan x4 – y4 = z2 tidak
mempunya jawaban x,y,x sebagai bilangan positif.
Petunjuk :
Sebut
sisi-sisi segitiga itu a= 2mn
b= m2
– n2 , c= m2 + n2
; m,n = bilangan bulat positif dan luasnya A= ½ ab, akan menjadi
suatu bilangan kuadrat (kontradik).
(b) Buktikan teorema terakhir dari
Fermat untuk x4 – y4 = z4.
Petunjuk :
Gunakan
hasil (a) di atas untuk mendapatkan suatu kontradiksi.
2. Menurut teorema terakhir
dari Fermat, tidak terdapat bilangan bulat positif x, y, z sehingga xn
– yn = zn. untuk n>2.
Buktikanlah
menurut teorema ini bahwa suatu kurva dengan persamaan , n>2 tidak mempunyai
titik dengan koordinat rasional, kecuali pada titik potongnya dengan sumbu
koordinat.
Petunjuk :
Soal a, b, c, d bilangan bulat dan
andaikan titik (a/b , c/d) adalah titik pada kurva itu, maka akan terdapat
kontradiksi dengan teorema itu.
3. Pada
lemparan sebuah dadu bermata 6, hadiah akan diperoleh sebesar Rp.1500 jika
muncul mata 4 dan memperoleh hadiah Rp. 1.800 jika yang muncul angka 5.
Tentukanlah harapan matematika pada lemparan dadu tersebut menurut Huygens.
4. Suatu
permainan matematika dari Bachet untuk mencari suatu bilangan yang
disembunyikan oleh teman bermain. Bilangan itu kecil dari 60, jika bilangan itu
dibagi 3, 4, dan 5 disebutkan sisanya berturut-turut misalnya a, b dan c.
Buktikanlah bahwa rumus yang dipakai oleh pencari bilangan yang disembunyikan
itu adalah sisa dari hasil bagi 40a + 45b +36c bila dibagi dengan 60. Ujilah
rumusan itu bila bilangan yang disembunyikan misalnya 38.
Petunjuk
:
Sebut bilangan itu x, maka x = 3p + a =
3q + b =3r + c
Maka 40a + 45b + 36c = x + 60
(x-2p-3q-3r).
5. Tentukanlah
luas segitiga bola siku-siku bila diameter bola 28 cm.
6. Lemniskat
dari Bernoulli adalah juga suatu cisoida. Ditentukan suatu lingkaran dengan
jari-jari ½ a, dan kutub 0 berjarak ½ a dari 0.
Tariklah garis-garis melalui 0 dan memotong lingkaran di titik P1
dan P2. Tentukan tempat kedudukan titik P sehingga OP = O P2
–O P1.
Petunjuk
:
Sebut M pusat
lingkaran, sudut antara OP2 dengan OM. Gunakanlah rumus sinus
dalam segitiga OP2M, sebut < OP2M
= α perpanjangan P2M memotong lingkaran di Q dan seterusnya
lenyapkan α.
7. Fungsi
ϕ dari n oleh Euler disebut indikator atau totient dari n yang menunjukkan
banyaknya bilangan bulat positif yang relatif prima dan kecil dari n. Bilangan
1 dianggap prima kepada tiap bilangan. Berarti ϕ (2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5)
= 4. Misalnya n =5, bilangan yang relatif prima dan kecil dari 5 adalah 1,2,3
dan 4.
(a) Ujilah
seperti diatas secara induktif jika p suatu bilangan prima maka ϕ(p) = p-1.
Jika n = ab dan a relatif prima dengan b maka ϕ(n) = ϕ(a) ϕ(b)
(b) Gunakanlah
teori pada a diatas untuk menentukan ϕ(39)
8. Jelaskan
tentang motoda turun tak terbatas dari Fermat beserta contohnya !
9. Jelaskan
deret Mercator yang ditulis oleh Nicolaus Mercator !
10. Tentukanlah
luas segitiga bola siku-siku bila diameter bola 35 cm !
DAFTAR
PUSTAKA
Sitorus,
J. 1990. Pengantar Sejarah Matematika dan
Pembaharuan Pengajaran Matematika di Sekolah. Bandung : Tarsito.
http://buku/pengantar-sederhana-matematika-baru-sejarah-matematika.sukiyanto-kuswandono.html
(jumat,14 desember 2012 : 14.35)