AHLI-AHLI MATEMATIKA TERKEMUKA ABAD XVII DAN PERKEMBANGAN WADAHNYA

AHLI-AHLI MATEMATIKA TERKEMUKA ABAD XVII DAN PERKEMBANGAN WADAHNYA

5.3.1        AHLI-AHLI MATEMATIKA ABAD-17 DAN PENEMUANNYA

1.    Fermat (1601-1665)

Fermat lahir di Toulouse, anak dari seorang saudagar kulit. Ia menerima pendidikan pertama di rumah. Ia memperoleh pendidikan di bidang hukum, dan bekerja sebagai ahli hukum dengan penampilannya yang sederhana. Ia dipandang sebagai ahli yang amat teliti dalam tugasnya dan bersikap rendah hati sebagai anggota dewan kota praja Toulouse pada usia 30 tahun. Ia memanfaatkan waktu luangnya belajar matematika. Bersamaan dengan saat Descartes merumuskan dasar geometri analaitik, Fermat juga mempelajari bahan pelajaran itu. Maka Fermat dipandang sebagai jenius matematika Prancis abad-17.

Dari hasil belajarnya sendiri ia menulis dalam suatu makalah berjudul “ISOGOGE AD LOCUS PLANOS ET SOLIDAS”. Di dalam tulisan ini terdapat persamaan garis dan lingkaran, dan membicarakan hiperbola, ellips dan parabola. Dalam suatu karya ia menulis tentang tangent dan kuadratur yang diselesaikan pada tahun 1637. Ia menemukan kurva-kurva baru dengan persamaan yang terbentuk oleh gerak mekanik. Kurva-kurva itu ialah parabola yⁿ = ax^m, hiperbola x^myⁿ = a, spiral Fermat rⁿ = a θ. Ia juga memperkenalkan kurvaa derajat tiga yang dikenal kemudian dengan nama sihir dari Agnesia. Kurva itu dinamai menurut nama Maria Gaetama Agnesi (1718-1799) seorang wanita terkenal di bidang matematika, linguistik dan filsafat tetapi dengan sifat aneh suka bejalan waktu sedang tidur.

Cara Fermat menguraikan sifat-sifat geometri dari kurva itu kadang kala ia mulai dari tempat kedudukan kemudian secara analitik menemukan persamaannya. Ada kalanya dimulai dari persamaan kemudian mempelajari tempat kedudukan titik-titik yang memenuhinya. Itulah prinsip timbal balik sebagai prinsip dasar geometri analitik. Tetapi Fermat masih memakai notasi Viete, berarti masih lebih terbelakang dari pemakaian notasi oleh Descartes. Fermat sedikit menerbitkan karya tulisnya tetapi banyak melakukan surat menyurat dengan ahli matematika lain yang mempengaruhi pendapat penerima suratnya. Ia mengembangkan banyak komponen matematika sehingga ia dipandang sebagai ahli matematika terbesar abad ke XVII.

Penemuan fermat terpenting adalah mengenai teori bilangan. Dalam teori bilangan ia dipandang memiliki intuisi dan kemampuan luar biasa. Terjemahan Bachet de Meziriac pada tahun 1621 dari buku Diophantus yang berjudul Arithmetica menarik perhatian Fermat akan teori bilangan. Fermat membuat catatan pinggir pada terjemahan buku Bachet itu.

Pada tahun 1670, lima tahun setelah Fermat meninggal catatan Fermat itu dimasukkan dalam terbitan baru dari Aritmetika itu yang diterbitkan oleh putranya Clement Samuel. Adapun penyelidikan yang dilakukan oleh Fermat antara lain adalah sebagai berikut :

1)   Jika m suatu bilangan prima dan p bilangan relatif prima kepada m maka p^m-1 -1 habis dibagi m.

Misalnya:         m=5, p=4 maka 4^5-1 -1 = 255 habis dibagi 5.

Teorema ini tanpa bukti dikirimkan Fermat pada suratnya kepada Frenicle de Bessy bertanggal 18 Oktober 1640. Teorema ini kemudian dikenal dengan teorema kecil Fermat. Buktinya diberikan Euler tahun 1736.

2)   Tiap bilangan prima ganjil dapat dinyatakan sebagai selisih dari dua kuadrat hanya dengan satu cara. Teorema ini dibuktikan sebagai berikut :

Jika p suatu bilangan prima ganjil, maka :

Bukti yang diberikan itu amat sederhana.

Sebut p = x2 – y2, maka p = (x + y) (x - y)

Karena p adalah bilangan prima, maka faktornya hanyalah x + y = p dan,

 x - y = 1

Sehingga  dan

3)   Suatu Bilangan Prima dalam bentuk p = 4m +1 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat.

Misalnya:        13 = 4 x 3 + 1 = 2² + 3²

                        29 = 4 x 7 + 1 = 5²+ 2²

Teorema ini diberikan Fermat pada suratnya kepada Mersenne tertanggal 25 Desember 1640.

4)   Bilangan Prima p = 4m +1 hanya terjadi satu kali sebagai hipotenusa segitiga siku. Kuadrat dari p dapat terjadi dua kali sebagai hipotenusa dan pangkat tiga dari p dapat terjadi tiga kali sebagai hipotenusa dan seterusnya.

Contohnya :    p = 13 = 4(3) + 1, maka 13² = 12² + 5² ( satu kali)

                        p = 169, maka 169² = 156² + 65² = 120² + 119² (dua kali)

                        Dan seterusnya.

5)   Tiap bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai jumlah dari empat atau kurang bilangan kuadrat. Teorema yang sukar ini dibuktikan Lagragne pada tahun 1770.

6)   Luas Daerah suatu segitiga siku-siku yang sisi-sisinya terdiri dari bilangan bulat tidak mungkin satu bilangan kuadrat. Teorema ini juga dibuktikan Lagragne.

7)   Terdapat hanya satu bilangan bulat sebagai penyelesaian dari x² + 2 = y³, dan hanya dua dari x² + 4 = y³. Soal ini dikemukakan Fermat sebagai tantangan kepada ahli matematika inggris.

Penyelesaiannya :      x = 5 , y= 3 pada persamaan pertama.

x = 2, y =2 ; x =1 , y = 5 pada persamaan kedua.

8)   Tidak terdapat bilangan bulat positif x, y, dan z sehingga x⁴ + y⁴ = z².

9)   Tidak terdapat bilangan bulat positif x, y,z sehingga xⁿ+ yⁿ = zⁿ, jika n > 2.

Terkaan terkenal ini dikenal sebagai teorema terakhir dari Fermat. Dijelaskan Fermat pada catatan pinggir dari kopi terjemahan Bachet dari buku Arithmatika dari Diophantus pada soal 8 Buku II, yakni memisah suatu bilangan kuadrat atas dua bilangan kuadrat. Kemudian memisah suatu bilangan pangkat tiga atas dua bilangan pangkat tiga dan seterusnya. Tetapi, memisah atas lebih dari 2 tidak mungkin. Fermat membuktikan soal itu untuk n =4, Euler memberi bukti untuk n =3. Ahli- ahli matematika kemudian membuktikan teorema itu. Pada tahun 1825, sendiri-sendiri Dricglet dan Legendre membuktikan untuk n=5. Pada tahun 1839, Lame membuktikan untuk n = 7. E.Kummer ( 1810-1893) pada tahun 1843 menyampaikan suatu bukti kepada Drichlet bahwa terdapat kesalahan pada bukti yang diberikan oleh Drichlet itu. Setelah Kummer memperdalam matematika dalam aljabar tinggi mengenai teori ideals yang membahas syarat-syarat umum, agar suatu persamaan dapat diselesaikan, maka teorema terakhir Fermat itu dibahasnya lagi. Dan Kummer menemukan pengembangan penting dari teorema itu.

Pada tahun 1908, P.Wolfskehl seorang ahli matematika Jerman mewariskan 100.000 mark Jerman kepada Akademi Ilmu Pengetahuan Gottingen untuk dihadiahkan kepada orang pertama yang dapat memberi bukti lengkap dari teorema Fermat itu. Setelah penemuan komputer, pada tahun 1955, dibuktikan bahwa teorema terakhir dari Fermat itu benar untuk n < 4003.

10)    Dugaan Fermat bahwa f(n) =  adalah bilangan pri ma, terbukti salah setelah Euler menemukan f(5)=2³² + 1 adalah bilangan komposit.

f(5) = 2³² + 1

f(5) = 4294964967297

f(5) = 641 x 6700417

11)    Metoda turun tak terbatas dari Fermat. Metoda ini sangat berguna untuk mencapai hasil yang negatif.

Adapun metoda itu berjalan sebagai berikut :

Bila kita hendak membuktikan bahwa suatu relasi tertentu bahwa relasi itu berlaku pada beberapa bilangan bulat positif. Dengan pengandaian itu, buktikan bahwa relasi yang sama berlaku pula pada himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil. Gunakan berulang-ulang relasi itu pada himpunan bilangan bulat positif yang semakin kecil. Karena bilangan bulat positif itu tak mungkin semakin kecil tak terbatas, maka pengandaian tadi tak dapat dipertahankan, berarti relasi semula yang hendak dibuktikan itu benar tidak mungkin.

Contoh : Buktikan bahwa  tidak rasional.

Bukti :

Andaikan   dengan a, b bilangan bulat positif.

Maka :

  ; karena  

 

Sebut  =

Tetapi 1 <  < 2 atau 1 <  < 2 atau b < a < 2b

Karena a < 2b, maka 0 < 2b – a = a₁

Karena b < a, maka a₁ = 2b – a < a, bilangan bulat positif

Karena b <a, maka 0 < b – a = b₁  < b bilangan bulat positif

Dengan mengulang cara seperti di atas diperoleh lagi :

  dengan a₂ < a_1, b₂ < b₁

Proses itu dapat diteruskan tak terbatas, tetapi bilangan bulat positif kecil tak terbatas tidak ada. Berarti  itu tidak rasional.

12)    Dasar Teori Peluang.

Pascal dan Fermat meletakkan dasar teori peluang. Fermat mengambil kejadian khusus pada persoalan titik.

Jika A memerlukan 2 nilai untuk menang dan pemain B memerlukan 3 nilai.  Penyelesaian yang diberikan Fermat adalah sebagai berikut : Jika diperlukan 4 percobaan lagi untuk menentukan hasil permainan itu, sebut a suatu percobaab untuk A menang, dan b suatu percobaan untuk B menang. Maka terdapat 16 kombinasi dari huruf a dan b dalam 4 percobaan itu yakni :

a a a a              a a a b              a b b a              b b a b

b a a a              b b a a              a b a b              b a b b

a b a a              b a b a              a a b b              a b b b

a a b a              b a a b              b b b a             b b b b

Kejadian munculnya a dua kali atau lebih menguntungkan kepada A, banyaknya 11 kejadian. Kejadian munculnya b tiga kali atau lebih menguntungkan B, banyaknya 5 kejadian. Maka taruhan yang tertunda itu dibagi atas perbandingan 11 : 5.

2.    Huygens (1629-1695)

Huygens lahir di Hague, belajar di Leiden pada Frans van Schooten de Younger. Pada tahun 1951 yaitu pada usia 22 tahun ia menerbitkan makalah yang menunjukkan kesalahan Saint-Vincent dalam perhitungan kuadratur lingkaran. Tulisan itu diikuti dengan karya-karyanya mengenai kuadratur irisan kerucut, perbaikan trigonometri dari Snell dalam metode perhitungan.

Pada tahun 1645, Huygens dan Saudaranya menemukan cara baru untuk mengasah dan mengkilapkan lensa. Dengan adanya lensa itu mampu menjawab sejumlah pertanyaan dalam pengamatan astronomi, seperti sifat-sifat saturnus. Karya astronominya membimbing ia kepada penemuan jam bandul sehingga ia mampu mengukur waktu lebih tepat.

Pada tahun 1657, Huygens menulis risalat pertama tentang peluang berdasarkan surat menyurat Pascal-Fermat. Risalat itulah uraian paling baik hingga saat itu mengenai peluang. Pada tahun 1713, Jacob Bernoulli menulis karya dengan judul “ARS CONJECTANDI” berisi cetak ulang dari risalat Huygens.

Banyak soal-soal menarik dan sukar yang diselesaikna Huygens dan memperkenalkan pengertian dan konsep penting tentang harapan matematika.

Hal-hal penting lain yang diperkenalkannya, jika p peluang seorang memenangkan suatu jumlah a dan q adalah peluang memenangkan jumlah b, maka dapat diharapkan ia memenangkan jumlah ap + bq.

Pada tahun 1665, Huygens pindah ke Paris untuk mempergunakan pensiun yang diberikan Louis XIV. Semasa berada di paris ia berhubungan dengan Royal Society London dengan mengirim makalah mengenai eksperimen bahwa momentum dari dua benda pada arah yang ditentukan adalah sama sebelum dan sesudah tumbukan. Pada tahun 1675 ia menerbitkan karya besarnya di Paris, dengan judul “HOROLOGIUM OSCILATORIUM”.

Karya itu terdiri dari lima bagian. Bagian pertama mengenai jam bandul yang ditemukannya pada tahun 1656. Bagian kedua membicarakan benda jatuh bebas dalam ruang kosong, tentang benda yang menggelinding pada bidang miring atau yang menggelinding pada kurva licin. Dalam bagian dua itu diuraikan sifat isochron dari busur cycloida terbalik, bahwa partikel berat akan mencapai dasar dari busur cycloida terbalik dalam panjang dan waktu yang sama dari titik manapun partikel mulai turun. Pada bagian ketiga ia menguraikan sifat-sifat dari evolut dan involut. Huygens menemukan evolut dari parabola adalah semi parabola deratat tiga, sedang evolut dari cyclodia adalah cyclodia dengan ukuran yang sama.

Pada bagian empat diuraikan sifat dari bandulan majemuk dengan bukti bahwa pusat oskilasi dan titik gantung dapat dipertukarkan. Pada bagian lima diuraikan mengenai teori dari jam. Dalam bagian itu didapat gambar dari bandul cycloida dengan periode oskilasi selalu sama bagaimanapun besar atau kecilnya amplitudo dari askelasi itu.

Bagian terakhir dari 13 teorinya yang berkenaan dengan gaya sentrifugal dalam gerak melingkar yang dikenal sekarang dengan gerak melingkar uniform. Bahwa besar gaya sentrifugal berbanding lurus dengan pangkat dua dengan kecepatan linier dan berbanding terbalik dengan jari-jari lingkaran.

Pada tahun 1675, dibuatlah jam pertama yang diatur dengan per yang seimbang dan jam itu dihadiahkan kepada Louis XIV. Pada tahun 1681, Huygens kembali ke negeri Belanda, ia membuat lensa yang amat besar, dan menemukan lensa akhromatis untuk teleskop.

Pada tahun 1689 ia berkunjung ke Inggris dan berkenalan dengan Newton. Setelah kembali ke negeri Belanda, pada tahun 1690 ia menerbitkan suatu risalat yang menguraikan teori gelombang dari cahaya. Dari teori gelombang cahaya itu ia menurunkan secara geometri hukum refleksi dan refraksi cahaya dan menjelaskan fenomena refleksi rangkap dari cahaya.

Newton pun mendungkung teori emissi dari cahaya. Teori gelombang cahaya itulah yang paling memashurkan nama Huygens dan ia disejajarkan dengan jenius-jenius ilmuan lainnya. Risalat-risalat lain yang ditulis Huygens dari hasil penyelidikannya untuk perbaikan cisoida dari Diocles, penyelidikan geometri analitik dari  catenary, kurva logaritma, bentuk modern dari polinom, penyelidikan aturan maksimum dan minimum dari Fermat dan risalat matematika fisika. Bukti-bukti yang diberikan Huygens disusun secara cermat dan ketat secara sempurna.

3.    Evangelista Terricolli (1608 – 1647)

Terricolli adalah murid dari Galileo di Italia. Pada tahun 1644, ia menerbitkan karyanya yang pertama menentukan cycloida sama dengan tiga kali luas lingkaran yang menggelinding itu. Buktinya dengan metoda kecil tak berhingga. Bukti yang diberikannya dengan metoda kecil tak berhingga.

Terricolli lebih dikenal dari penemuannya dalam fisika, yakni mengenai barometer. Ia juga mengemukakan teori-teori tentang percepatan dan gravitas, gerakan cairan dan teori proyektil.

4.    Vincenzo Viviani (1622 – 1703)

Ia juga murid dari Galileo. Karya geometrinya antara lain mengenai tangent pada cycloida. Viviani juga menyelesaikan soal membagi tiga samasudut dengan menggunakan hiperbola sama sisi.

5.    Giovanni Domenico Cassini (1625 – 1712)

Sumbangan Cassini pada matematika adalah pemakaian astronomi. Pada tahun 1668, ia menemukan kurva Cassini yaitu TK titik-titik yanh hasil kali jarak terhadap dua titik tetap selalu sama. Kurva itu diselidiki dalam hubungannya dengan gerak relative bumi dan matahari.

6.    Bachet de Meziriac (1581 – 1638)

Ia ahli matematika Perancis penting mengenai soal-soal Diophantus. Pada thun 1612, ia menerbitkan Problemes Plaisants et Delectables dan diperluas pada terbitan 1624, berisi banyak akal-akal aritmetika dan hiburan matematika. Pada tahun 1621, ia menerbitkan terjemahan dari bahasa Gerik buku Diophantus Aritmatica ke dalam bahasa Latin.

7.    Marin Mercenne (1588 – 1648)

Ia seorang ahli teori dan penulis besar dalam berbagai bidang ilmu di Perancis. Ia juga mengelola suatu jurnal, sebagai bank ide matematika dan menulis berbagai bidang ilmu dan jurnalnya. Namanya terkenal, karena terkait dengan yang disebut “MERSSENNE PRIM” yakni bilangan prima dalam bentuk 2ⁿ  – 1.

8.    Claude Mydorge (1585 -1647)

Ia seorang ahli geometrid dan fisika Perancis dan salah seorang sahabat Descartes. Karya-karyanya mengenai optic dan sifat sintesis dari irisab kerucut. Ia menyederhanakan beberapa bukti bertele-tele dari Apollonius.

9.    Gilles Persone de Roberval (1602 – 1675)

Ia seorang ahli geometrid an fisika di Perancis. Penemuannya antara lain, metoda menggambar tangent, kurva dan menemukan beberapa kurva datar derajat tinggi.  Menurutnya, kurva datar adalah tempat kedudukan titik-titik ysng mengikuti dua gerak yang diketahui.

Konsep tangent itu juga dikemukakan oleh Terricolli.  Siapa penemunya tidak dapat dipastikan. Demikian juga mengenai metoda tak terbagi sebagai awal dari kalkulus dari Cavaleri. Roberval mengatakan bahwa dialah penemunya. Ia menuntut bahwa dialah penemu membujursangkarkan daerah cycloida oleh Terricolli. Roberval berhasil menggunakan metoda tak terbagi untuk menentukan luas, isi dan titik beratnya.

10.    Phillipe de la Hire (1642 – 1718)

Dia dipandang sebagai jenius dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, sebagai pelukis, arsitek, astronomi dan ahli matematika.

Karyanya mengenai Matematika adalah irisan kerucut, metoda grafik, kurva datar derajat tinggi dan bujursangkar ajaib. Dia menggambar peta bumi dengan proyeksi globe dengan pusat proyeksi pada garis melalui kutub sejauh r sin 45^o di luar bola.

11.    Viscount Brouncker (1620 – 1684)

Dia adalah pendiri Royal Sociaty London dan ia menjadi presiden pertama dari perkumpulan itu. Ia menulis pembetulan pada parabola dan cycloid. Ia menggunakan deret tak berhingga untuk menyatakan suatu bentuk yang tak dapat dinyatakan dengan bentuk lain. Brountcker adalah penulis matematika Inggris pertama yang menyelidiki pecahan kontinu.

12.    James Gregory (1638 – 1675)

Ia seorang ahli matematika Skotlandia menjadi guru besar matematika pada tahun 1668 di St. Andrews, dan pada tahun 1674 di Edinburg. Ia juga seorang ahli fisika. Karya dalam fisika adalah mengenai optiks tentang teleskop refleksi.

Dalam matematika ia membuktikan bahwa luas suatu lingkaran tak dapat dikuadratkan. Ia meninggal pada usia muda setelah buta karena kelelahan mata dari pengamatan astronominya.

13.    Sir Christopher Wren (1632-1723

Ia ahli dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan seperti halnya matematika, fisika, astronomi, dan mekanika. Pada tahun 1661-1673, ia menjadi guru besar astronomi pada Savilian Oxford dan pada waktu itu menjadi presiden Royal Society. Karya tulisnya mengenai hokum tumbukan benda, bahasan yang berkaitan dengan optik, gesekan cairan, matematika fisika dan mekanika keangkasaan.Ia menemukan garis pelukis dan hiperbola berdaun satu.

Pada tahun 1658, sebagai orang pertama menemukan bahwa busur sikloida sama dengan delapan kali busur lingkaran pembentuknya. Setelah kebakaran besar kota London (London Greats Fire), pada tahun 1666 sebagai seorang arsitek ia memegang peran terpenting dalam pembagunan katedral St Paul, dan juga menjadi arsitek 50 bangunan gereja dan bangunan umum. Ia lebih dikenal sebagai seorang arsitek di negerinya dari pada seorang ahli matematika.

14.    Robert Hooke (1635-1703)

Selama kira-kira 40 tahun menjabat guru beasar geometri pada Gresham College. Bagi siswa SLTA Hooke dikenal dari hukum tegangan pada tali yang ditarik rentangkan. Ia menemukan bandulan kerucut, menemukan hukum gaya berkenaan dengan putaran planet mengikuti matahari, yaitu gaya yang menyebabkan planet berputar mengelilingi matahari. Hukum itu kemudian dengan hukum berbanding terbalik dari kuadrat jarak oleh Newton. Ia bersama-sama dengan Huygens merancang jam yang diputar seimbang oleh per.

15.    Edmund Halley (1656-1742)

Ia mengganti Wallis menjadi guru besar geometri pada Savilian Oxford dan menjabat ahli astronomi kerajaan Inggris. Ia berusaha menyusun kembali buku 8 yang hilang dari buku Apollonius tentang irisan kerucut. Ia menyusun tabel kematian yang menjadi dasar dari asuransi jiwa dalam bisnis. Tetapi karya yang terpenting adalah mengenai astronomi.

16.    Ehrenfried Walther von Tsckirnhausen (1651-1708)

Oleh karena perang 30 tahun (1618 – 1648) di Jerman, maka ilmu-ilmu pengetahuan tak sempat berkembang di Jerman pada abad ke-17. Namun Tsckirnhausen masih sempat menggunakan banyak waktunya untuk penyelidikan matematika dan fisika.

Pada tahun 1682, ia memperkenalkan hasil penyelidikanya knikurva yang disebut kurva catacaustic, yakni kurva envelop dari sinar-sinar yang dipancarkan dari suatu titik setelah dipantulkan oleh suatu kurva yang telahditentukan. Spiral sinusoida dikenal sebagai kurva Thirnhausen. Kurva sinusoida secara umum dengan persamaan , untuk n rasional diselidiki oleh Mc. Laurin pada tahun 1718.

Dalam teori persamaan Thirnhausen menemukan transformasi dari suatu polinom derajat n dalam y, sehingga koefisien y^n-1,y^n-2 dan y^n-3 semua menjadi nol. Transformasi ini di pakai untuk penyelesaian transenden dari persamaan derajat lima dengan fungsi elliptik.

17.    Willbord Snell (1581-1626)

Ia adalah seorang ahli matematika Belanda. Pada usia 12 tahun ia sudah memahami karya matematika baku pada masa itu. Ia menemukan kurva loxodrome yaitu suatu kurva pada bola yang membentuk sudut tetap dengan meridian-meridian. Ia ahli pertama yang menyelidiki sifat-sifat segitiga kutub pada bola.

18.    Albert Girard (1595)

Ahli matematika Belanda yang terutama mencurahkan perhatiannya pada geometri bola dan trigonometri. Pada tahun 1626 ia menerbitkan risalah tentang trigonometri yang pertama kali menuliskan singkatan dari sinus, tangens dan secans menjadi sin, tan dan sec. Ia menyatakan luas segitiga bola dengan ekses bola.

Jika E=ekses bola maka luas segitiga bola ialah :

.

Girard adalah juga seorang ahli aljabar.

19.    Frans van Schootenmuda (1615-1660)

Anak dari Frans van Schooten seorang guru besar matematika juga. Schooten muda menjadi guru besar matematika, menjadi guru matematika dari Huygens, Hudde, dan Slure. Saudaranya Petrus juga menjadi guru besar matematika. Ia menerbitkan edisi bahasa latin dari La Geometrie karya Descartes dan juga menerbitkan karya dari Viete. Ia menulis mengenai perspektif.

20.    Johan Hudde (1633-1704)

Ia adalah murid dari Schooten muda. Iapernah menjadi walikota Amsterdam. Ia menulis tentang maksimum dan minimum dan teori persamaan. Dalam teori persamaan ia menulis aturan untuk mendapatkan akar-akar rangkap dari suatu polinom, dan cara itulah yang di kenal sekarang, yaitu akar dari faktor persekutuan tertinggi dari persamaan itu dengan fungsi turunannya.

21.    Rene Francois Walter de Sulze (1622-1685)

Seorang murid dari Schooten muda. Ia adalah salah seorang dari anggota dewan bishop gereja di negeri Belanda. Ia menulis tentang spiral, titik belok dan alat-alat geometri. Menemukan kurva , dengan eksponen positif bulat. Kuva tersebut dikenal sebagai mutiara dari Sluze.

22.    Nicolaus Mercator (1620-1687)

Ia lahir di Holstein Denmark, tetapi lebih lama tingga di Inggris. Ia menerbitkan Elemen Euclides. Ia menuliskan tentang trigonometri, astronomi, perhitungan logaritma dan kosmografi. Dia menulis deret yang kemudian dikenal dengan deret Mercator yakni :

Deret itu konvergen untuk -1 < x ≤ 1.

Maka deret itu dipergunakan dengan baik untuk perhitungan logaritma.

5.3.2 SEKILAS LINTASAN SEJARAH BERDIRINYA AKADEMI dan JURNAL

(1) Lahirnya Akademi

Perkembangan ilmu pengetahuan dan matematika sangat pesat pada saat itu, namun belum adaya suatu forum atau tempat untuk memampung, memperbincangkan, dan mendiskusikannya. Belum ada pula majalah dan berkala sebagai wadah penampungan hasil penemuan para ahli dan juga sebagai media untuk menyebar luaskan. Maka ahli-ahli tersebut di persatukan dalam akademi.

Pada tahun 1560 diirikanlah akademi pertama di napels. Lalu disusul berdirinya academia dei lincet in rome pada tahun 1603. Pada tahun 1662 didirikan lagi Royal Socity di londin. Pada tahun 1666 didirikan lagi Akademi perancis di Paris.

(2)     Lahirnya Majalah Berkala

Setelah adanya akademi sebagai tempat berdiskusi dan pusat-pusat ilmiah untuk menyajikan makalah, hasil-hasil temuan pun disebarluaskan melalui media seperti jurnal dan majalah berkala.

Mungkin berkala tertua didirikan pada tahun 1796 yakni journal dcolepolytechniqiue. Karena jurnal-jurnal sebelumnya hanyalah berisi teka-teki dan soal-soal matematka hiburan.

Pada tahun 1826, A.L Grella mendirikan jurnal matematika lanjut dengan judul ‘JOURNAL FUR DIE REINE AND ANGEWANDTE MATHEMATIK’

Pada tahun 1836, dengan J. Liouville sebagai redaktur di perancis berdiri jurnal matematika dengan judul ‘JOURNAL DE MATHEMATIQUES PURES ET APPLIQUEES’. Tiga tahun setelahnya berdiri Cambrige Mathematical Journal di Inggris, yang peda tahun 1846-1854 berganti nama manjadi Cambrige and Dublin Mathematiccal Journal,  lalu pada tahun 1855 menjadi Quarterly Journal of Pure and Aplid Mathematics.

Pada tahun 1878 dengan J.J Sylvester sebagai redaktur mendirikan The American Journal of Mathematics. Lalu pada tahun 1841, didirikan jurnal khusus untuk keperluan guru matematika dengan judul Archivder Mathematik and Physik dan pada tahun 1842 berdiri journal di perancis.

Pada tahun 1865, London Mathematical Society mendirikan jurnal matematika tingkat tinggi dengan judul Proceedings. Pada tahun 1872, berdiri Society Mathematique de France di Paris dan menerbitkan jurnal bulletin. Pada tahun 1884, di paris Italia berdiri perhimpuna matematika Circolo Matematico, kemudian menerbitkan   jurnal Rendiconti.

Pada tahun 1887, di Edinburg Mathematical Society dan menerbitkan Poceeding. Pada tahun 1888 berdiri American Society di Amerika dan pada tahu 1900 menerbitkan jurnal Trans Action, pada tahun 1950 menerbitkan Proceeding.

Pada tahun 1890, di Jerman berdiri Deutsche Matematikan Verenigung dan pada tahun 1892 menerbitkan jurnal Jahrebericht. Pada masa sekarang hampir semua Negara mendirikan perhimpunan matematika. Termasuk di FKIP ini, kita mendirikan Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMMAT) J.

Banda Aceh, 21 Desember 2012

KELOMPOK IV

SOAL-SOAL

1.    Menurut teorema 6 dari Fermat, jika sisi-sisi suatu segitiga siku merupakan bilangan-bilangan bulat maka luas segitiga itu tidak dapat kuadrat suatu bilangan bulat.

(a)      Menurut teorema ini buktikanlah bahwa persamaan x⁴ – y⁴ = z² tidak mempunya jawaban x,y,x sebagai bilangan positif.

Petunjuk :

Sebut sisi-sisi segitiga itu a= 2mn

b= m² – n² , c= m² + n²  ; m,n = bilangan bulat positif dan luasnya A= ½ ab, akan menjadi suatu bilangan kuadrat (kontradik).

(b)     Buktikan teorema terakhir dari Fermat untuk x⁴ – y⁴ = z^4.

Petunjuk :

Gunakan hasil (a) di atas untuk mendapatkan suatu kontradiksi.

2.    Menurut teorema terakhir dari Fermat, tidak terdapat bilangan bulat positif x, y, z sehingga xⁿ – yⁿ = z^n. untuk n>2.

Buktikanlah menurut teorema ini bahwa suatu kurva dengan persamaan , n>2 tidak mempunyai titik dengan koordinat rasional, kecuali pada titik potongnya dengan sumbu koordinat.

Petunjuk :

Soal a, b, c, d bilangan bulat dan andaikan titik (a/b , c/d) adalah titik pada kurva itu, maka akan terdapat kontradiksi dengan teorema itu.

3.    Pada lemparan sebuah dadu bermata 6, hadiah akan diperoleh sebesar Rp.1500 jika muncul mata 4 dan memperoleh hadiah Rp. 1.800 jika yang muncul angka 5. Tentukanlah harapan matematika pada lemparan dadu tersebut menurut Huygens.

4.    Suatu permainan matematika dari Bachet untuk mencari suatu bilangan yang disembunyikan oleh teman bermain. Bilangan itu kecil dari 60, jika bilangan itu dibagi 3, 4, dan 5 disebutkan sisanya berturut-turut misalnya a, b dan c. Buktikanlah bahwa rumus yang dipakai oleh pencari bilangan yang disembunyikan itu adalah sisa dari hasil bagi 40a + 45b +36c bila dibagi dengan 60. Ujilah rumusan itu bila bilangan yang disembunyikan misalnya 38.

Petunjuk :

Sebut bilangan itu x, maka x = 3p + a = 3q + b =3r + c

Maka 40a + 45b + 36c = x + 60 (x-2p-3q-3r).

5.    Tentukanlah luas segitiga bola siku-siku bila diameter bola 28 cm.

6.    Lemniskat dari Bernoulli adalah juga suatu cisoida. Ditentukan suatu lingkaran dengan jari-jari ½ a, dan kutub 0 berjarak ½ a  dari 0. Tariklah garis-garis melalui 0 dan memotong lingkaran di titik P₁ dan P₂. Tentukan tempat kedudukan titik P sehingga OP = O P₂ –O P₁.

Petunjuk :

Sebut M pusat lingkaran, sudut antara OP₂ dengan OM. Gunakanlah rumus sinus dalam segitiga OP₂M, sebut < OP₂M  = α perpanjangan P₂M memotong lingkaran di Q dan seterusnya lenyapkan  α.

7.    Fungsi ϕ dari n oleh Euler disebut indikator atau totient dari n yang menunjukkan banyaknya bilangan bulat positif yang relatif prima dan kecil dari n. Bilangan 1 dianggap prima kepada tiap bilangan. Berarti ϕ (2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4. Misalnya n =5, bilangan yang relatif prima dan kecil dari 5 adalah 1,2,3 dan 4.

(a) Ujilah seperti diatas secara induktif jika p suatu bilangan prima maka ϕ(p) = p-1. Jika n = ab dan a relatif prima dengan b maka ϕ(n) = ϕ(a) ϕ(b)

(b) Gunakanlah teori pada a diatas untuk menentukan ϕ(39)

8.    Jelaskan tentang motoda turun tak terbatas dari Fermat beserta contohnya !

9.    Jelaskan deret Mercator yang ditulis oleh Nicolaus Mercator !

10.    Tentukanlah luas segitiga bola siku-siku bila diameter bola 35 cm !

DAFTAR PUSTAKA

Sitorus, J. 1990. Pengantar Sejarah Matematika dan Pembaharuan Pengajaran Matematika di Sekolah. Bandung : Tarsito.

http://buku/pengantar-sederhana-matematika-baru-sejarah-matematika.sukiyanto-kuswandono.html (jumat,14 desember 2012 : 14.35)